数学：它的内容 、方法和意义（第一卷）笔记A

by AquarHEAD

函数概念的定义 P91
笛卡儿坐标系中函数图像的表示法

无穷小、无穷大的定义 P99
极限的运算法则 P100
证明 \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 P102
e = \displaystyle\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n

连续的数学定义 P105

导数的定义及符号 P112
微分法则 P118-122
初等函数的定义 P124
高阶导数、二阶导数与曲线的凹凸
极大与极小的准则 利用函数的性质作图 P132

！导数与微分的联系 P134

\Delta{y} = f(x + \Delta x) - f(x)
因为 \Delta{x} \to 0 时 \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = f'(x)
所以可写成 \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = f'(x) + \alpha 其中 \Delta{x} \to 0 时 \alpha \to 0
即 \Delta{y} = f'(x)\Delta{x} + \alpha\Delta{x}
这样 我们把第一项（与增量成线性关系）称为函数在给定x值上与自变量的已知增量相对应的微分，记作
dy = f'(x)\Delta{x} (！图21) 为了对称写为

dy = f'(x)dx


因此 f'(x) = \frac{dy}{dx}
在 \Delta{y} = f'(x)\Delta{x} + \alpha\Delta{x} 中，第二项为关于 \Delta{x} 的高阶无穷小，在 \Delta{x} \to 0 时更迅速地“消失”

中值定理及推论 P138