数学：它的内容 、方法和意义（第一卷）笔记B

by AquarHEAD

n次多项式 a点处函数值相同、一阶、二阶……n阶导数相同，随着n的增大，新函数越来越接近原函数

泰勒公式 f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
运用中值定理填补余项 R_{n+1} = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} 则成为等式 P142

！泰勒级数 若 n \to \infty 时 R_{n+1} \to 0 则

f(x) = \displaystyle\lim_{x \to \infty} [f(a) + f'(a)(x-a) + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n]

！牛顿二项式 (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} + \dots （对|x|<1及任何实数n成立）

定积分
微分学与积分学的联系
微积分基本定理：牛顿——莱布尼茨公式 P150 \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)
莱布尼茨的贡献：数学符号 dx, d^2x, \int ydx, \frac{d}{dx}
柯西提供了极限概念的清晰、形式的定义

不定积分：求原函数 P154

F(x) = F(a) + \int_a^xf(t)dt \Rightarrow \int f(x)dx = \int_a^xf(t)dt + C


从导数表整理不定积分表

！变量置换法（换元法）求不定积分 P155
由复合函数导数的定理推出
\int f(x)dx = \int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt + C
应用举例 P156

！分部积分法 P158
(uv)' = uv' + u'v \Rightarrow uv' = (uv)' + u'v
对左右分别积分
\int uv'dx = \int (uv)'dx + \int u'vdx
又 \int (uv)'dx = uv + C
忽略常数C，则有

\int uv'dx = uv + \int u'vdx


即分部积分公式

应用举例：
求 \int xe^xdx ，令 u = x, v' = e^x 则 u' = 1, v = e^x
\int xe^xdx = xe^x - \int e^xdx = xe^x - e^x + C

求 \int \ln{x}dx ，令 u = \ln{x}, v' = 1 则 u' = \frac{1}{x}, v = x
\int \ln{x}dx = x\ln{x} - \int \frac{1}{x}xdx = x\ln{x} - x + C

\int e^x\sin{x}dx = e^x\sin{x} - \int e^x\cos{x}dx = e^x\sin{x} - e^x\cos{x} - \int e^x\sin{x}dx
\Rightarrow \int e^x\sin{x}dx = \frac{e^x}{2}(\sin{x} + \cos{x}) + C

小结：“我们就以这个例子作为这一节的结尾，读者从这一节中仅仅得到了积分理论的一些肤浅的观念。这理论的许多方法我们都不曾讲到，特别是我们在这里不曾接触到极饶趣味的有理分式积分理论……”

多元函数 P159
隐函数 P160
二元函数的几何表示 P161

偏导数与微分 把其他变量当作定值，则多元函数F化为一元函数F(x)，它的导数（如果存在）称为对x的偏导数，记为

\frac{\partial{f}}{\partial{x}}, f_x'(x,y)


一个函数对变量 x_i 的偏导数是其在 x_i 变化方向上的变化率

二阶偏导数 二元函数时有4个二阶偏导数

\frac{\partial^2{u}}{\partial^2{x}}, \frac{\partial^2{u}}{\partial{x}\partial{y}}, \frac{\partial^2{u}}{\partial{y}\partial{x}}, \frac{\partial^2{u}}{\partial^2{y}}


中间两个可证是相同的

二元函数的变化率
\Delta{z} = f(x + \Delta{x}, y + \Delta{y}) - f(x,y) = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\Delta{x} + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\Delta{y} + \alpha\sqrt{(\Delta{x})^2 + (\Delta{y})^2}
其中， \Delta{x} \to 0, \Delta{y} \to 0 时 \alpha \to 0
因此

dz = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}dy


为二元函数的微分，略去的一项是高阶无穷小

P.S. TeX不是一般的牛。